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大学生要算半小时的小学数学题

转载自  原创  作者:佚名  发布时间:2013-1-4


重庆晨报报道,一名重庆大学大三学生在帮助解答表弟的小学四年级作业时陷入了困境,在询问多名同学,等待半个小时后,才得到答案,题目是这样的

 

 “用1到8这八个自然数组成两个四位数(不可重复使用),其中一个四位数是另一个四位数的4倍,请问这两个四位数分别是_____?”

 

解答者张蕾说,她先确定千位数字,再用排除法确定个位,然后是百位和十位。尽管算出来答案,却花了她半个小时。事实上她仅仅算出了其中一组答案,有网友后来才补充了本题另一组答案。

 

实际上这是一道比较基本的小学奥数数论题目,如果解答者知道一些数论和组合常识,那将很方便地得到题目的答案。

 

本题所涉及到的数论知识便是:被9整除的十进制自然数的性质

 

有读者或许觉得这个性质与题目八竿子打不着,“题目中说的是4倍啊,拜托”,呵呵,事实上有个非常重要的条件隐含在题目之中,注意了:1+2+3+…+8=36,由此我们便可以直接判断出,题目所求的两个四位数的和是9的倍数。判定的理由便是被9整除的十进制自然数的性质。

 

这里再简略说明下下吧,一个n位十进制数写成

\[\overline{a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_0}\]它表示

\[\overline{a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_0}{\rm{=}}a_{n-1}\times 10^{n-1}+a_{n-2}\times 10^{n-2}+\cdots +a_0\times 10^0\]那么有

\[\overline{a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_0}\equiv a_{n-1}\times 10^{n-1}+a_{n-2}\times 10^{n-2}+\cdots +a_0\times 10^0\left({\bmod 9}\right)\]上面的式子表示左右两边被9除所得的余数相同,简称同余,我们知道对于任意自然数b有:

\[b\times 10^m \equiv b\left({\bmod 9}\right)\]所以

\[\overline{a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_0}\equiv a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_0\left({\bmod 9}\right)\]也就是说任意一个自然数被9除得的余数与该自然数各位数字之和被9除得的余数相同。

这条结论非常有用,在算术中该结论的使用也叫作弃九法

 

回到题目上来,利用弃九法,我们可以判断两个四位数被9除得的余数之和等于两个自然数各位数字之和被9除得的余数,即为0,所以两个四位数之和是9的倍数。我们再结合另一个条件,进一步判断其中较小的那个四位数(记为A,较大的记为B)被9除得的余数是多少。 

A+B=A+4A=5A,所以只有A也是9的倍数时,这5A才可能是9的倍数,那么A的各位数字之和只能为9、18、27、36、……,同样B也是,不过8个数字的和总共才36,而最小的四个数字之和也有1+2+3+4=10,所以A和B各位数字之和都是大于10的9的倍数,只能为18。

 

接下来我们便可以按照字典排序,将A的各位数字的可能组合都列出来:

1、2、7、8
1、3、6、8
1、4、5、8
1、4、6、7

其他的可能就不必列出来了,因为B的值小于8800,所以A的值小于2200,因此A的各位数字中必须包括1。

 

范围缩小到现在,答案就非常好找了,将所有可能的情况一一验证,便可得到(1368,5472)、(1863,7452)两组答案。