一道概率题,有关蒲丰投针-巴别场

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一道概率题,有关蒲丰投针

转载自  网络  作者:干豆  发布时间:2013-11-7


原题

在平面上有间隔为d的平行线,向平面任意透支一个三角形,该三角形变长为a,b,c(均小于d)。求三角形与平行线相交的概率。

蒲丰投针

大家看到题干,肯定会想到18世纪,法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”,记载于布丰1777年出版的著作中:  

“在平面上画有一组间距为a的平行线,将一根长度为l(l<a)的针任意掷在这个平面上,求此针与平行线中任一条相交的概率。”布丰本人证明了,这个概率是

p=2l/(πd) (其中π为圆周率)

利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。

证明蒲丰投针问题一般用到定积分的方法,但证明这道题可以直接运用蒲丰投针的结论。

证明

将每条边与平行线的相交看作一个简单的布丰投针问题。线段k与平行线相交的事件记为K。则有

P(A)=2a/(πd)

P(B)=2b/(πd)

P(C)=2a/(πd)

由几何常识可知,一条直线不肯能仅仅和三角形的其中一条边有公共点,即一条直线如果和三角形相交,那么该直线至少和三角形的两条边相交。所以有:

P(A)=P(A∩B)+P(A∩C)-P(A∩B∩C)

P(B)=P(B∩C)+P(B∩A)-P(A∩B∩C)

P(C)=P(C∩A)+P(C∩B)-P(A∩B∩C)

其中P(A∩B∩C)可以直接看作是0了,因为直线同时和三角形的三条边相交的事件相对于和两条边相交的事件发生概率忽略不计。

所以:

P(A)=P(A∩B)+P(A∩C)

P(B)=P(B∩C)+P(B∩A)

P(C)=P(C∩A)+P(C∩B)

可求得P(A∩B)+P(B∩C)+P(C∩A)=(a+b+c)/(πd)

显然A∩B、B∩C、C∩A是互斥的,所以三角形与平行线相交的概率为

(a+b+c)/(πd)