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九点圆

转载自  网络总结  作者:佚名  发布时间:2011-5-31


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三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上.

定理证明

如图,H为△ABC的垂心,P1,P2,P3分别为三角形各条高的垂足,M1,M2,M3分别为三角形各条边的中点,E1,E2,E3分别为三角形垂心与各顶点连线的中点.求证P1,P2,P3,M1,M2,M3,E1,E2,E3这九个点在同一个圆上.

证明:只要证明P1,P2,P3,M1,M2,M3这六个点都在△E1E2E3的外接圆上,即证明了P1,P2,P3,M1,M2,M3,E1,E2,E3九点共圆.

由条件可知△HP2B和△HP2C为直角三角形,而E3E1分别是HBHC的中点,所以E3P2=E3H,E1P2=E1H,所以∠HP2E3=∠P2HE3,∠HP2E1=∠P2HE1,所以∠E3P2E1=∠E3HE1,所以∠E3P2E1=180°-∠HBC-∠HCB=180°-∠BAC=180°-∠E3E2E1,所以E1,E2,E3,P2四点共圆,P2在△E1E2E3的外接圆上.

而四边形HE3M2E1为平行四边形,所以∠E3M2E1=∠E3HE1=180°-∠E3E2E1,所以E1,E2,E3,M2四点共圆,M2在△E1E2E3的外接圆上.

同理可证P1,P3,M1,M3这六个点都在△E1E2E3的外接圆上.

重要性质

九点圆的圆心在欧拉线上,且到三角形垂心和外心的距离相等

证明:显然△ABC和△E1E2E3位似,位似中心为垂心,位似比为2:1,所以两个三角形的外接圆也以H为位似中心位似,所以两个三角形外接圆的圆心连线的延长线经过H点,且△ABC外心到H点的距离等于△E1E2E3H点的距离的2倍.

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